Luck-lady.ru

Настольная книга финансиста
0 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Практический гармонический анализ

Практический гармонический анализ.

Применение рядов Фурье

Вычисление сумм числовых рядов.

В предыдущих параграфах было показано, как с помощью тригонометрических рядов можно вычислить суммы некоторых числовых рядов. Например,

. (8°)

. (9°)

Практический гармонический анализ.

На практике функция часто задаётся или в виде таблицы (когда функциональная зависимость получается в результате эксперимента), или в виде кривой, которая вычерчивается каким-либо прибором, например, осциллографом. В этих случаях можно получить аналитическое представление этой функции в виде тригонометрического ряда или в виде частичной суммы (отрезка) такого ряда. Коэффициенты Фурье вычисляются при помощи приближённых методов интегрирования, например, формулы прямоугольников.

Пусть значения функции, которая может быть периодической (с периодом 2l), получены в виде графика (рис.3.10.1).

Разделим промежуток на п равных частей точками (рис.3.10.3). Шаг деления будет равен . Рассмотрим один период некоторой 2p-периодичной функции , изображённой на рис.3.10.4. Каждый промежуток будет служить основанием одного из прямоугольников с высотами , равными значениям функции в точках деления , т.е. в правых концах частичных отрезков. Значения этих высот определим по таблице или графику данной функции. Затем воспользуемся формулой прямоугольников. Эта формула заменяет площадь подграфика, равную определённому интегралу, ступенчатой фигурой, складывающейся из площадей прямоугольников: (i=1, 2, …, п) (рис.3.10.4):

(при площадь ступенчатой фигуры стремится к значению определённого интеграла). Тогда коэффициенты Фурье можно приближённо определить следующим образом:

;

;

.

.

Значения соответствующих синусов и косинусов определяются по таблицам или с помощью вычислительной техники. Разработаны схемы, упрощающие вычисление коэффициентов Фурье (см., например, Смирнов В.И., «Курс высшей математики», т.2; Лопшиц А.М., «Шаблоны для гармонического анализа»). Существуют даже приборы, так называемые гармонические анализаторы, которые по графику функции позволяют вычислить приближенное значение коэффициентов Фурье.

По вычисленным коэффициентам Фурье составляется функция:

и берётся столько членов ряда, сколько требуется в данной задаче. Таким образом, функция, заданная таблично или графически, становится заданной аналитически, и её можно дифференцировать, интегрировать, подставлять в дифференциальное уравнение, и т.д.

Для чего нужен гармонический анализ? Основные расчетные формулы. Интерпретация полученных результатов. Как при помощи гармонического анализа можно выполнить фильтрацию временного ряда

Многие природные процессы являются периодическими, т.е. воспроизводятся в прежнем виде через определенный промежуток времени Т (смена времен года, смена дня и ночи, продолжительность светового дня и т.д.). С точки зрения математики, различные величины, связанные с рассматриваемыми периодическими процессами, по истечение периода Т возвращаются к своим прежним значениям и являются периодическими функциями от времени t:

Гармонический анализ – это процесс разложения периодической функции в ряд Фурье (на гармоники). Гармоника (гармонические составляющие функции f(t)) – отдельные синусоидальные величины, входящие в состав тригонометрического ряда. Ибо периодическая функция f(t) периода Т (при этом составляющие синусоидальные величины разных частот) может быть представлена в виде суммы конечного или бесконечного множества синусоид. Интерпретация полученных результатов: с помощью гармонического анализа можно выделить низко-, средне- и высокочастотные колебания, а также оценить вклад отдельных гармоник в исследуемый процесс.

Задача гармонического анализа заключается в построении практически удобных методов для приближенного определения коэффициентов ряда Фурье или для непосредственного вычерчивания гармоник различных порядков для функции, заданной таблично. По этим коэффициентам можно судить о вкладе отдельных гармоник: если k≈0, то вклад гармоник минимальный, а если k≈1, то это основные гармоники. По ним можно составлять гипотезы и процессооформирующих явлениях.

Пусть ф-ия f(x) – периодическая с периодом 2π: f(x+2π)=f(x). Основная задача гармонического анализа – представить ф-цию f(x) в виде ряда: , где коэф. ряда определяется по формулам Эйлера-Фурье: ; ;

Читать еще:  Схема ситуационного анализа

Полагая что , , ряд можно представить в виде: , где — амплитуда гармоники, — фаза

Ряд Фурье и гармонический анализ позволяют выполнить фильтрацию временного ряда. Напр.:

*Если обнулить n-компонент (с низкими частотами), то это высокочастотная фильтрация;

*Если удалить все компоненты с какой-то высокой частотой, то это будет низкочастотная фильтрация;

*Обнулив компонент со значениями частот «от и до» — полосовая фильтрация.

Иногда фильтрация с пропусканием высоких частот производится путем вычитания сглаженных величин из данного ряда, в рез-те в ряду остаются только высокие частоты.

1)Фильтрация низких и высоких частот, в рез-те чего в ряду остаются средние частоты. Иногда эти частоты получаются путем дополнительного сглаживания ряда данных, полученных путем вычитания первоначального сглаживания величин из экспериментального ряда.

2)Существуют фильтры позволяющие усилить высокие частоты. Этим достигается ликвидация эффекта предыдущего сглаживания (процесс «обратного сглаживания»).

Простейшими фильтрами являются скользящая средняя и взвешенная скользящая средняя.

Для чего необходимо осреднение? Основные расчетные формулы метода скользящего среднего и экспоненциального сглаживания. Интерпретация полученных результатов. Достоинства и недостатки данных двух методов

Осреднение необходимо для исключения влияния на анализ флуктуаций – короткопериодические колебания, медленные постепенные изменения случайной переменной в течение всего анализируемого периода и колебания, хар-ся промежуточным временным масштабом.

Метод скользящей средней заключается в том, что для каждого аргумента берется средняя арифметическая на несколько соседних значениях функции.

, т.е. ;

Пропадут первые v-точки и последние v-точки: 2v-точки.

Применяют для длинных рядов, где пропажа двух крайних 2v-точек ничего не решает. Характерно для физ.-географов и не характерно для эконом.географов, которые работают с небольшими рядами. Многоцелевой, легко программируемый метод, однако велика вероятность неточности.

Метод взвешенной скользящей средней является более точным, т.к. не связан с потерей крайних значений. Для этих целей добавляют с обеих концов ряда по два члена, расчет производится по формуле:

Метод экспоненциального сглаживания. Пусть есть некоторый ряд , где i=1,2. n. Тогда расчетные формулы имеют вид:

0,1-0,3 (т.е. берут значение в этом пределе) Чем меньше α, тем больше степень осреднения

Его преимущества заключаются в простоте вычислений, гибкости описаний динамик процессов. Метод экспоненциального сглаживания дает возможность получить оценку параметров тренда, хар-щих не средний уровень процесса, а тенденцию, сложившуюся к моменту последнего наблюдения. Наибольшее применение метод нашел для коротких рядов в геоэкологии и эконом.географии. Для метода экспоненциального сглаживания основным и наиболее трудным моментом является выбор параметра сглаживания α и начальных условий.

Интерпретация полученных результатов: воспользовавшись рассмотренными методами, мы сократили, сжали набор полученных результатов и осреднили их, что избавило нас от ряда процессов обработки не столь важных результатов. (например, для оценки численности населения не так важно знать его каждодневное количество)

Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰).

Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ — конструкции, предназначен­ные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой.

Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого.

Большая Энциклопедия Нефти и Газа

Практический гармонический анализ

Задачей практического гармонического анализа является определение гармоник функции, заданной таблично или графически, приближенное представление ее частичными суммами ряда Фурье. [1]

Погрешность практического гармонического анализа возрастает с увеличением номера гармоники, а также уменьшением рабочей частоты гальванометров осциллографов и количества интервалов в периоде кривой напряжения или тока. [2]

Читать еще:  Многомерный анализ данных это

Развито применение практического гармонического анализа в использования рядов Фурье для определения корректирующей матрицы, элементами которой являются электрические параметры и перекосы первичных датчиков инклинометров по результатам лабораторных и натуральных испытаний. Последнее, в частности, позволяет с помощью инклинометра вычислить величину магнитного наклонения и модуль вектора напряженности магнитного поля Земли. [3]

Известно значительное количество приспособлений для так называемого практического гармонического анализа . В основном это медленно действующие устройства, основанные на арифметических или графических операциях с исследуемой функцией u ( t), которая задана в виде графика или таблиц. Применение ЭВМ позволяет получать результаты анализа очень быстро, однако не всегда использование ЭВМ оказывается возможным и целесообразным. Поэтому значительный практический интерес представляет разработка таких анализаторов, при помощи которых удается с минимальной затратой времени оперативно исследовать заданную функцию. Одновременно с этим должны быть удовлетворены такие условия, как достаточно высокая точность анализа, малые габаритные размеры и масса устройства, простота конструкции и эксплуатации. [5]

Задачу разложения в ряд Фурье такой функции называют практическим гармоническим анализом . [6]

Для оценки уровней высших гармоник тока и напряжения в заводских сетях используются два метода: практический гармонический анализ осциллограмм и аппаратурный анализ, основанный на применении специальных приборов-анализаторов. [7]

Для оценки и измерения действующих значений тока и напряжения отдельных гармоник могут быть использованы два метода: практический гармонический анализ осциллограмм и аппаратурный анализ, основанный на применении специальных приборов-анализаторов. Для измерения гармоник в сетях промышленных предприятий могут быть использованы следующие приборы. [8]

Методы приближенного разложения функции, заданной графически или таблично, в ряд Фурье составляют, как говорят, практический гармонический анализ . [9]

Закон изменения скорости, подобный изображенному на рис. г, может быть представлен рядом Фурье, коэффициенты которого определяются методами практического гармонического анализа . [11]

Чарного может быть использована для вычисления напряжений в любом сечении колонны штанг при известных напряжениях у точки подвеса; для этого динамограмма усилий в точке подвеса должна быть предварительно представлена в виде ряда Фурье методами практического гармонического анализа . [12]

Теория разложения функций в тригонометрические ряды Фурье называется также гармоническим анализом. Под практическим гармоническим анализом понимается представление конкретных функций, возникающих при решении практических задач, в виде ряда Фурье, коэффициенты которого, как правило, вычисляются приближенным образом. В большинстве случаев функции, описывающие исследуемый процесс, даны в виде экспериментальных данных или графиков, которые вычерчиваются самопишущим прибором. [13]

Практически переменное давление на заданном круговом контуре определяется разложением функции давления рк ( В) в ряд Фурье. При этом пользуются методами практического гармонического анализа . Один из возможных методов заключается в следующем. Затем интервал изменения функции давления делится на 12 частей и составляются таблицы. [15]

Построение тренда изменения экономических показателей с помощью практического гармонического анализа

экономические науки

  • Воробьёва Марина Викторовна , студент
  • Зайчикова Надежда Анатольевна , кандидат наук, доцент
  • Российский государственный торгово-экономический университет
  • МЕТОД ШАБЛОНОВ ПРАКТИЧЕСКОГО ГАРМОНИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
  • АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ
  • ПОСТРОЕНИЕ ТРЕНДА
  • РЯД ФУРЬЕ

Похожие материалы

В нашу жизнь все активнее входят информационные технологии. Они оптимизируют работу, помогают выделить время для принятия необходимых управленческих решений. Именно экономия ресурсов сделала эту отрасль столь популярной сейчас. Для преподавателей и студентов экономических специальностей важно не только уметь использовать разнообразные современные средства технического анализа экономической и биржевой информации, но и понимать, на чем основана работа подобных программных средств. Освоение техники метода шаблонов практического гармонического анализа, в упрощенном виде с помощью программных средств офисного назначения, становится актуальным и наглядным способом решения данной задачи, а также дает результат в исследовании основной тенденции поведения определенных экономических показателей.

Читать еще:  Анализ производства продукции растениеводства

Обучение этой технике можно разделить на три основных этапа:

  1. изучение теоретических основ метода шаблонов практического гармонического анализа;
  2. работа с программными средствами офисного назначения (Microsoft Excel);
  3. решение прикладной задачи на примере одной из мировых валют.

Теоретические основы метода шаблонов практического гармонического анализа

В экономическом анализе различных систем часто появляются функции, которые задаются не аналитически, а графически или таблично. Задача, возникающая перед исследователем, состоит в отыскании соответствующего аналитического выражения для функции. Для этой цели могут использоваться тригонометрические ряды, поскольку функция приближенно может быть выражена суммой конечного числа первых членов ее ряда Фурье.

Для нахождения коэффициентов ряда Фурье можно воспользоваться одним из способов приближенного вычисления интегралов, входящих в предмет практического гармонического анализа – так называемым методом шаблонов Бермант А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курс математического анализа для втузов. М.:Наука, 1967. С. 719. . Он заключается в нахождении первых коэффициентов Фурье Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. Т. 2. М.: Наука, 1972. С 342.

, k = 0, 1, 2, 3, .

, k = 1, 2, 3, .

с помощью формул численного интегрирования (например, формулы левых прямоугольников Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука, 1987. С.86. ):

, ,

, k = 0, 1, 2, 3, .

, k = 1, 2, 3, .

и последующего определения функции в виде

, где p = 1, 2, 3

В вычислительном процессе используются шаблоны – определенные схемы вычислений, основанные на свойствах формул (2).

Ранее шаблоны понимались буквально: как таблицы, выполненные из прозрачного материала. Сегодня, когда компьютерные технологии стали доступным инструментом для решения вычислительных задач, предлагается использовать программную реализацию метода шаблонов на основе программы Microsoft Excel.

Рассмотрим упрощенный график изменения цен на международном финансовом рынке Борискин В.В. Гармонический волновой анализ. М.: ДЦ «Альпари». URL: http:// forex-baza.com. . Проведем подготовку графика для определения аналитического выражения функции. Во-первых, осуществим параллельный перенос системы координат Oxy, так чтобы весь график был расположен над осью Ox и как можно ближе к ней (что скажется лишь на свободном члене в разложении Фурье). Во-вторых, выбираем масштаб так, чтобы ординаты на графике были выражены целыми числами. Далее, функцию y = f(x) задаем в интервале (0,2l), и по свойствам (2) выбираем l кратным 6, например, график отражает изменение цены в течение 12 часов, (l = 6), (2l = 12)(рис.1).

Рис. 1. График функции f(x)

Интервал (0,2l) делим на n равных частей. Исходя из особенностей множителей и , обычно берут n равным 12, 24 или 48. Число увеличивают для большей точности, так как погрешность формулы левых прямоугольников – величина порядка Δx, D(f) = O(Δx). Возьмем n = 12.

Заполняем первые 4 столбца таблицы 1. В первом столбце перечисляются номера точек деления интервала (0,2l). Во втором – соответствующие этим точкам ординаты, снимаемые с графика. Легко видеть, что в формулах (2) каждое из 12 значений функции умножается лишь на одно из чисел:

, ,

, ,

взятых со знаком «+» или «–». Поэтому в третьем столбце указываются произведения соответствующих ординат на cos 30° = 0,87 в четвертом – произведения ординат на cos 60° = 0,5 кроме строк, отмеченных номерами 0, 3, 6, 9, клетки которых прочеркиваются, так как они соответствуют произведению ординат на косинусы дуг, кратных π или .

Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector