Luck-lady.ru

Настольная книга финансиста
0 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Стохастический анализ в задачах

Стохастический анализ

Стохастический анализ представляет собой методику исследования факторов, связь которых с результативным показателем в отличие от функциональной является неполной, вероятностной (корреляционной). Если при функциональной (полной) зависимости с изменением аргумента всегда происходит соответствующее изменение функции, то при корреляционной связи изменение аргумента может дать несколько значений прироста функции в зависимости от сочетания других факторов, определяющих данный показатель. Например, производительность труда при одном и том же уровне фондовооруженности может быть неодинаковой на разных предприятиях. Это зависит от оптимальности сочетания других факторов, воздействующих на этот показатель.

Корреляционная (стохастическая) связь – это неполная, вероятностная зависимость между показателями, которая проявляется только в массе наблюдений. Отличают парную и множественную корреляцию.

Парная корреляция – это связь между двумя показателями, один из которых является факторным, а второй – результативным.

Множественная корреляция – возникает от взаимодействия нескольких факторов с результативным показателем.

Необходимые условия применения корреляционного анализа:

1. Наличие большого количества наблюдений о величине исследуемых факторных и результативных показателей (в динамике или за текущий год по совокупности однородных объектов).

2. Исследуемые факторы должны иметь количественное измерение и отражение в тех или иных источниках информации.

Применение корреляционного анализа позволяет решить следующие задачи:

— определить изменение результативного показателя под воздействием одного или несколько факторов, т.е. определить насколько единиц изменяется величина результативного показателя при изменении факторного на единицу;

— установить относительную степень зависимости результативного показателя от каждого фактора.

Корреляционный анализ – метод установления связи и измерения ее тесноты между наблюдениями, которые можно считать случайными и выбранными из совокупности, распределенной по многомерному нормальному закону.

Корреляционной связью называется такая статистическая связь, при которой различным значениям одной переменной соответствуют разные средние значения другой. Корреляционная связь может возникать несколькими путями. Важнейший из них – причинная зависимость вариации результативного признака от изменения факторного. Кроме того, такой вид связи может наблюдаться между двумя следствиями одной причины. Основной особенностью корреляционного анализа следует признать то, что он устанавливает лишь факт наличия связи и степень ее полноты, не вскрывая ее причин.

В экономическом анализе теснота измеряется линейным коэффициентом корреляции. Коэффициент корреляции при прямолинейной форме связи между факторами х и у определяется следующим образом:

При измерении тесноты связи при криволинейной форме зависимости используется не линейный коэффициент корреляции, а корреляционной отношение, которое рассчитывается по формуле:

где

Данная формула является универсальной. Ее можно применять для исчисления коэффициента корреляции при любой форме зависимости. Однако для его нахождения требуется предварительное решение уравнения регрессии и расчет по нему теоретических (выравненных) значений результативного показателя для каждого наблюдения исследуемой выборки.

Значения коэффициента корреляции изменяются в интервале [–1; +1]. Значение г = –1 свидетельствует о наличии жестко детерминированной обратно пропорциональной связи между факторами, г = +1 соответствует жестко детерминированной связи с прямо пропорциональной зависимостью факторов. Если линейной связи между факторами не наблюдается, то r = 0. Другие значения коэффициента корреляции свидетельствуют о наличии стохастической связи, причем, чем ближе /r/ к единице, тем связь теснее.

При /r/ 0,7 – тесной.

Если коэффициент корреляции возвести в квадрат, получим коэффициент детерминации. Он показывает насколько процентов результативный показатель зависит от факторного.

Практическая реализация корреляционного анализа включает следующие этапы:

— постановка задачи и выбор признаков;

— сбор информации и ее первичная обработка (группировки, исключение, аномальных наблюдений, проверка нормальности одномерного распределения);

— предварительная характеристика взаимосвязей (аналитические группировки, графики);

— устранение мультиколлинеарности (взаимозависимости факторов) и уточнение набора показателей путем расчета парных коэффициентов корреляции;

— исследование факторной зависимости и проверка ее значимости;

— оценка результатов анализа и подготовка рекомендаций по их практическому использованию.

Регрессионный анализ состоит из нескольких этапов .

На первом этапе определяются факторы, которые оказывают воздействие на изучаемый показатель, и отбираются наиболее существенные для корреляционного анализа. Отбор факторов – очень важный момент в экономическом анализе: от того, насколько правильно он сделан, зависит точность выводов по итогам анализа. Не рекомендуется включать в корреляционную модель взаимосвязанные факторы. Если парный коэффициент корреляции между двумя факторами больше 0,85, то по правилам корреляционного анализа один из них необходимо исключить, иначе это приведет к искажению результатов анализа; нельзя включать в корреляционную модель факторы, связь которых с результативным показателем носит функциональный характер.

Большую помощь при отборе факторов для корреляционной модели оказывают аналитические группировки, способ сравнения параллельных и динамических рядов, линейные графики. С их помощью можно определить наличие, направление и форму зависимости между изучаемыми показателями. Отбор факторов можно производить также в процессе решения задачи корреляционного анализа на основе оценки их значимости по критерию Стьюдента.

На втором этапе собирается исходная информация по каждому факторному и результативному показателям. Она должна быть проверена на достоверность, на однородность и на соответствие закону нормального распределения.

В первую очередь необходимо убедиться в достоверности информации, насколько она соответствует объективной действительности. Использование недостоверной, неточной информации приведет к неточным результатам анализа и к неправильным выводам.

Одно из условий корреляционного анализа – однородность исследуемой информации относительно распределения ее около среднего уровня. Если в совокупности имеются группы объектов, которые значительно отличаются от среднего уровня, то это говорит о неоднородности исходной информации.

Критерием однородности информации служат среднеквадратическое отклонение и коэффициент вариации, которые рассчитываются по каждому факторному и результативному показателю.

Среднеквадратическое отклонение показывает абсолютное отклонение индивидуальных значений от среднеарифметической.

Оно определяется по формуле:

Коэффициент вариации показывает относительную меру отклонения отдельных значений от среднеарифметической.

Для его расчета используется формула:

Чем больше коэффициент вариации, тем относительно больший разброс и меньшая выравненность изучаемых объектов. Изменчивость вариационного ряда принято считать незначительной, если вариация не превышает 10%, средней – если вариация составляет 10-12%, значительной — когда она больше 20%, но не превышает 33%. Если же вариация выше 33%, то это свидетельствует о неоднородности информации и о необходимости исключения нетипичных наблюдений, которые обычно бывают в первых и последних ранжированных рядах выборки.

Следующее требование к исходной информации – подчинение ее закону нормального распределения. Для количественной оценки степени отклонения информации от нормального распределения служат отношение показателя асимметрии к ее ошибке и отношение показателя эксцесса к его ошибке.

Показатель асимметрии (А) и его ошибка (me) рассчитываются по следующим формулам:

Показатель эксцесса (Е) и его ошибка (me) рассчитываются следующим образом:

В симметричном распределении А = 0. Отклонение от нуля указывает на наличие асимметрии в распределении данных около средней величины. Отрицательная асимметрия свидетельствует о том, что преобладают данные с большими значениями, а с меньшими значениями встречаются значительно реже. Положительная асимметрия показывает, что чаще встречаются данные с небольшими значениями.

Читать еще:  Анализ системы товародвижения и сбыта

В нормальном распределении показатель эксцесса Е = 0. Если Е > 0, то данные густо сгруппированы около средней, образуя островершинность. Если Е Fтабл, то гипотеза об отсутствии связи между исследуемыми показателями отвергается.

Критерий Фишера рассчитывается следующим образом:

, где

Yxi – индивидуальные значения результативного показателя, рассчитанные по уравнению;

— среднее значение результативного показателя, рассчитанного по уравнению;

Yi – фактическое индивидуальное значение результативного показателя;

m – количество параметров в уравнении связи, учитывая свободный член уравнения;

n – количество наблюдений.

Для оценки точности уравнения связи рассчитывается средняя ошибка аппроксимации. Чем меньше теоретическая линия регрессии (рассчитанная по уравнению) отклоняется от фактической (эмпирической), тем меньше ее величина, а это свидетельствует о правильности подбора формы уравнения связи.

Средняя ошибка аппроксимации рассчитывается по формуле:

О полноте уравнения связи можно судить по коэффициентам множественной регрессии и детерминации. Если их значения близки к 1, значит в корреляционную модель удалось включить наиболее существенные факторы, на долю которых приходится основная вариация результативного показателя.

Влияние каждого фактора на прирост (отклонение от плана) результативного показателя рассчитывается по формуле:

Коэффициенты регрессии в уравнении связи имеют разные единицы измерения, что делает их несопоставимыми, если возникает вопрос о сравнительной силе воздействия факторов на результативный показатель. Чтобы привести их в сопоставимый вид, все переменные уравнения регрессии выражают в долях среднеквадратического отклонения, т.е. рассчитывают стандартизированные коэффициенты регрессии или бетта-коэффициенты (β)

Бета-коэффициенты показывают, что если величина фактора увеличится на одно среднеквадратическое отклонение, то соответствующая зависимая переменная увеличится или уменьшится на долю своего среднеквадратического отклонения. Сопоставление бетта-коэффициентов позволяет сделать вывод о сравнительной степени воздействия каждого фактора на величину результативного показателя.

Коэффициент эластичности рассчитывается по формуле:

Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов в среднем изменится функция с изменением аргумента на 1%.

Перечисленное многообразие методов предоставляет аналитику широкие возможности в выборе инструментария исследования, как в экономическом анализе, так и в рамках финансового анализа. Выбор того или иного способа или приема из перечисленных определяется целью экономического (финансового) анализа, требованиями к степени детализации (глубины) анализа, к точности результатов (например, «разложение» результативного показателя по факторам), характером взаимосвязи между показателями, характером аналитических задач.

Независимо от выбранных способов алгоритм решения практически любой аналитической задачи содержит приемы сравнения, группировки, балансовой увязки и графический, которые рассматриваются как способы обработки первичной, исходной информации.

Задачи стохастического анализа;

1. Выявление аналитической формы связи между показателями.

2. Выявление тренда изменения показателей

3. Выявление (классификация) факторов, хозяйствующих субъектов

4. Выявление обобщающих синтетических показателей

Методы стохастического факторного анализа

1. Регрессионный анализ. Позволяет установить форму и зависимость между элементами

2. Корреляционный анализ. Позволяет определить тесноту связи между показателями.

1. Строится график (корреляционное поле), который позволяет предположить наличие определённой зависимости между показателями

2. Приналичие линейной зависимости уравнение принимает вид:

∑y = n*a + b ∑x, b – коэффициент регрессии, который показывает, на сколько единиц в среднем изменяется переменная “y” при увеличении “x” на 1 единицу

3. Находят параметры ab решением системы способом наименьших квадратов

По результатам расчёта получают конечный вид уравнения регрессии.

4. Проводится корреляционный анализ, рассчитывается коэффициент корреляции, который позволяет судить о тесноте связей между показателями.

Коэффициент корреляции изменяется от -1 до +1, в зависимости от того, насколько он приближен к 1 различают связь:

Если все значения переменных увеличить на/в одно и то же число раз, то величина коэффициента корреляции не изменится.

Если коэффициент корреляции равен +-1, то корреляционная связь представляет собой линейную функциональную зависимость

4.5. Применение ЭММ в практике

Методы линейного и динамического прогнозирования применяются для решения многих задач.

1. Метод линейного прогнозирования – метод решения ряда хозяйственных задач, которые описываются линейными уравнениями. Выбор структуры, составление оптимального плана прибыли. Постановка задач линейного прогнозирования состоит в формулировке целевых функций и ограничений.

Фирма заинтересована в наиболее прибыльном сочетании 2 видов продукции.

«А» — типовая продукция

1. По производительности и загрузке сборочного цеха. 2А+4Б =90

3. Требование неотрицательности элементов решения, А,Б>=0

2. Метод динамическогопрограммирования. Применяется для решения оптимизационных задач, в которых целевая функция или ограничения характеризуются нелинейными зависимостями:

a. Изношенность и эффективность производства

b. Масштабы производства

Анализируемый процесс делится на ряд последовательных этапов.

Производится оптимизация каждого из них, начиная с последнего.

Общий критерий обладает свойством аддивности, т.е. его значение определяется суммированием частных значений, полученный на отдельных этапах

Это теория математических моделей принятия решений в условиях конфликта или неопределённости. Действия сторон в игре определяется набором правил действий (стратегиями). Различают игры:

1. Антагонистические – выигрыш одной стороны неизбежно приводит к проигрышу другой.

2. Матричные – используются, когда набор стратегий ограничен. В матричных играх используется платёжная матрица, в которой по вертикали указываются возможные решения, а по горизонтали состояние среды, на которую нельзя влиять. На пересечении строк и столбцов указываются результаты решения при данных состояниях среды, их называют платежами (могут быть выражены прибылью, издержками, денежными потоками). Вычислив возможное значение для каждого действия можно выбрать наиболее оптимальные.

Теория наиболее часто используется при составлении планов в условиях неопределённости внешней среды или противодействия конкурентов

4.7. Теория массового обслуживания

Рассматривает вероятностные модели реальных систем обслуживания. Используется для минимизации издержек в сфере производства и обслуживания. При этом учитываются 3 фактора:

1. Ритм изменения числа клиентов или заявок

2. Вероятностные соображения

3. Способ определения издержек ожидания и улучшения обслуживания

Существуют разные модели очередей в системах обслуживания, простейшая из них – однотональная Пуассоновская система. В этой модели используют условные обозначения:

1. А – средняя частота поступления требований

2. S – средняя пропускная способность канала обслуживания

В модель входят уравнения:

1. Коэффициент использования системы (A/S – вероятность занятости персонала)

2. Среднее число элементов в системе (число ожидающих в очереди + число обслуживающих) A/(S-A)=Nc

3. Среднее число ожидающих в очереди. A 2 /S(S-A) = Nож

4. Среднее время ожидания в системе. 1/(S-A)=tож

5. Среднее время стояния в очереди. A/S(S-A) = tст

6. Удельный вес простоев. 1-A/S=УВпр

Пример. На автомойку приезжают 9 машин в час. Время обслуживания одной машины 5 минут.

1. A/S=9/12 = 0,75 *100 = 75%

3. Nож= 9 2 /12(12-9)=20,25

4. tож = 1/(12-9)= 0,33

5. tст =9/12(12-9) = 0.25 = 15 минут

6. УВпр = 1- 9/12 = 0.25*100=25%

5. Методологические основы анализа основных показателей деятельности предприятия

5.1. Предварительная оценка и анализ организационно-технического уровня и других условий производства

Анализ любого предприятия начинается с предварительной оценки его деятельности, которая заключается в изучении основных показателей, характеризующих деятельность предприятия в динамике за период 3-5 лет.

Читать еще:  Анализ расходов на оплату труда

СТОХАСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ТЕСТА ПРОСТОТЫ ФЕРМА

магистрант, кафедры 503, факультет РЭКСИ, Национальный аэрокосмический университет им. Н.Е. Жуковского,

Задача определения простоты числа является одной из самых важных в теории чисел. За всю историю развития математики как науки, ученые не могли найти эффективный способ решения этой задачи. Все изменилось в 1640 году после открытия Малой теоремы Ферма, на основе которой был построен вероятностный Тест простоты Ферма. В дальнейшем задачей ученых стало доказательство данной теоремы, нахождение ошибок и неточностей в работе теста. За последние 50 лет лет исследования в области теории простых чисел принесли немало открытий. Так в 1970-х годах были открыты вероятностные тесты Миллера-Рабина и Соловея-Штрассена, основанные на открытии Ферма. Но настоящим открытием в данной области стал, предложенный в 2002 году индийскими математиками детерминированный алгоритм полиномиальной сложности, более известный как АКS. Хотя данный алгоритм классифицируется как детерминированный, метод также основан на версии Малой теоремы Ферма.

Б. Стохастический процесс

Стохастический и случайный процесс в математике являются взаимозаменяемыми понятиями. В теории вероятностей данный процесс – это семейство случайных величин, индексируемых некоторым параметром, чаще всего играющих роль времени или координат. [1] Случайный (стохастический) процесс – это процесс, поведение которого не является детерминированным, и последующее состояние такой системы описывается как величины, которые могут быть предсказаны, или случайны. [5] Соответственно в статье будет рассмотрен тест простоты Ферма как функция, результатом которой является вероятностная величина.

II ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ТЕСТЫ ПРОСТОТЫ

Тест на простоту представляет собой алгоритм определения того, является ли входное число простым. Из всех разделов математики, это понятие наиболее часто применимо в криптографии. В отличие от целочисленной факторизации, тесты простоты обычно не дают простых факторов, а только указывают, является ли входное число простым или нет. [2]

Все тесты простоты можно разделить на две большие группы: истинные(детерминированные) и вероятностные. Первая группа дает точный результат при определении простоты либо составности числа, при помощи второй получаем результат с некоторой вероятностью. Многие популярные тесты на простоту являются вероятностными. Вероятностные тесты являются более строгими, чем эвристические, в том смысле, что они дают доказуемые границы вероятности предельной точности результата. Среди наиболее известных стоит упомянуть тесты Миллера-Рабина, Ферма, Соловея-Штрассена, Форбениуса. Эти тесты используют, кроме проверяемого числа n, некоторые другие числа a, которые выбираются случайным образом из некоторого множества. Вероятность ошибки на выходе может быть уменьшена путем повторения теста с несколькими независимо выбранными значениями a.

Структуру вероятностного теста можно представить следующим образом:

  • Выберем случайное число а.
  • Далее проверяется некоторое равенство (соответствующее выбранному тесту) с участием a и заданного числа n. Если равенство не может быть верным, то n является составным числом, a определяем как “свидетельство” составности, и прекращаем тестирование.
  • В противном случае повторяем с шага 1 до достижения необходимой точности.

III. МАЛАЯ ТЕОРЕМА ФЕРМА

Как известно, Малая теорема ферма гласит о том, что если p простое число, то для любого целого числа a число a p — a кратно p. Данное утверждение в обозначениях модульной арифметики можно выразить следующим образом:

Проверем выполнение равенства (1) на практике. Возьмём для наглядного примера числа a = 4 и p = 5. При возведении a в степень p получим 105 = 1024. Переносим значение a по модулю p в левую сторону выражения 1024 — 4 = 1020. Полученное значение является целым числом кратным значению модуля p (5 × 204 = 1020).

Также данную теорему можно выразить по-другому. При условии, что a не делится на p, формула (1) принимает следующий вид:

Возьмём все те же a = 4 и p = 5. то 4 5-1 = 1(mod 5), а 256 -1 = 255 = 0 (mod 5) = 5 × 51, таким образом 255, кратно 5 (модулю p). В словесной форме это будет звучать следующим образом: если р – простое число, то для любого натурального а, не делящегося на р, разность а р-1 -1 делится на р.

Так или иначе результаты обоих сравнений свидетельствуют о простоте проверяемого p.

Малая теорема Ферма является основой теста простоты Ферма и одним из фундаментальных результатов иcследований в теории элементарных чисел. Теорема названа в честь Пьера де Ферма, которую он сформулировал в 1640 году. Она называется «малой теоремой», чтобы избежать отождествления с последней теоремой Ферма.

Малая теорема Ферма – это частный случай теоремы Эйлера. Для доказательства этого утверждения достаточно провести пару не сложных вычислений: для любого модуля n и любого целого a взаимно простого с n:

где φ (n) обозначает конечную функцию Эйлера (которая подсчитывает целые числа от 1 до n, взаимно простые с n).

Теорема Эйлера действительно является обобщением потому, что если n – простое число, то φ (n) = n — 1. Теорема Эйлера включает в себя следующее утверждение: если a, n, x, y являются целыми числами с n положительными и a и n взаимно простыми, то если x, y, то mod φ (n), то a x ≡ a y . Это следует из того, что x = y + φ(n) k , поэтому a x = a y + φ ( n ) k = a y (a φ ( n ) ) k ≡ a y 1 k ≡ a y (mod n). [3] Данный частный случай с n-простым числом можно считать следствием Малой теоремы Ферма. В этой форме теорема находит много применений в криптографии и, в частности, лежит в основе вычислений, используемых в методе шифрования открытого ключа RSA. Малая теорема Ферма также связана с функцией Кармайкла и теоремой Кармайкла, а также с теоремой Лагранжа в теории групп.

IV. ВЕРОЯТНОСТНЫЙ АНАЛИЗ ТЕСТА ПРОСТОТЫ ФЕРМА И ЧИСЛА КАРМАЙКЛА

А. Вероятностный анализ теста простоты Ферма

Согласно Малой теореме Ферма, если n простое число и целое число a не делится на n, то:

Отсюда следует, что если для некоторых значений сравнение (4) нарушается, то можно утверждать, что n является составным.

Исходя из вышесказанного, условие теста простоты можно определить следующим образом: если n – простое число, то оно удовлетворяет сравнению equiv 1>>(4) для любого a, которое не делится на n. Но стоит отметить, что выполнение сравнения (4), является необходимым, но не достаточным условием, для подтверждения простоты. То есть, если найдётся хотя бы одно a, для которого not equiv 1>>сравнение (4) ложно, то число n — составное. Теперь можно прописать вероятностный алгоритм, который отличает составные числа от простых.

1) Мы случайным образом выбираем число a, 1 (4).

2) Если оно нарушено, то число n составное.

3) Если сравнение выполнено, возвращаемся к шагу 1.

Что бы определить вероятность ошибки для одного шага алгоритма воспользуемся формулой ꜫ k , где k – количество итераций, а ꜫ ≤ φ(n)/n , где φ(n) – функция Эйлера (равная количеству натуральных чисел, меньших n и взаимно простых с ним). Вероятность ошибки рассчитывается для составных чисел, так как этот тест может принять составное число за простое, но не наоборот. [6] Очевидно, что с увеличением количества шагов, вероятность ошибки будет стремиться к нулю.

В случае составного числа n, имеющего только большие делители, ꜫ будет приблизительно равна 1, то есть существуют числа, для которых вероятность ошибки при проверке их на простоту тестом Ферма близка к 1. [6] Такие составные числа, которые при прохождении теста Ферма ведут себя как простые называются числами Кармайкла в честь американского математика Роберта Кармайкла. К примеру, составное число n, обладающее свойством (4) для любого целого числа a с условием, что a и N взаимно простые будет считаться числом Кармайкла. Другими словами, число Кармайкла – это составное число n, которое является псевдопростым числом для каждой базы b (b = n-1).

Пример числа Кармайкла: число 1729, которое делится на 7, 13 и 19, но распознается тестом как простое. В связи с тем, что 1728 делится на каждое из чисел 6, 12, 18, с помощью Малой теоремы Ферма легко проверить, что 1729 число Кармайкла. Номер 1729 – третий номер в ряде чисел Кармайкла. Кроме того, 1729 – это число Рамануджана-Харди (наименьшее число, которое можно представить в виде суммы двух кубов двумя способами).

Б. Усовершенствование алгоритма

В 1976 году Миллер предложил заменить тест (4) проверкой несколько других условий. Если n простое число, то n-1 = 2 S t, где t нечетно то, согласно Малой теореме Ферма для каждой пары взаимно простых a и n хотя бы одна из скобок в произведении (a t -1) × (a t +1) × ( a 2 t +1)×…×(a 2^ s -1 +1)=a N -1 -1) делится на n.

Целое число a, 1

II) a t ≡ 1 mod n или содержит целое k, 0 ≤k (2 ^ k ) t -1(mod n). [4]

В противном случае, нет подходящих чисел а для простого n. Если n составное число, то согласно теореме Рабина, их не менее ¾ (n-1). Теорема Рабина утверждает, что составное нечетное число n имеет не более φ (n)/4 различных свидетельств простоты, где φ (n) – функция Эйлера. [4]

Теперь можно прописать вероятностный алгоритм, который отличает составные числа от простых.

1) Мы случайным образом выбираем число a, 1

2) Если хотя бы одно из них нарушено, то число n составное.

3) Если условия I и II выполнены, возвращаемся к шагу 1.

Из сказанного выше следует, что составное число не будет определяться как составное после однократного выполнения шагов 1) – 3) с вероятностью не более ¼. [4] Но вероятностный результат не определяет проверяемое составное число как составное, после k повторений, так как остается вероятность ошибочного результата, не превышающая значения (¼) k .

Даже небольшое количество повторений данного алгоритма, для одного и того же числа позволяет нам с высокой вероятностью говорить о его сложности или составности. Что безусловно свидетельствует об эффективности данного метода.

В данной статье был проведен краткий обзор Малой теоремы Ферма, подробно проанализирован тест простоты Ферма, его роль в современной науке, рассмотрены примеры и основные свойства метода, даны определения таким понятиям, стохастический процесс, числа Кармайкла, проведен вероятностный анализ теста простоты Ферма.

Подводя итоги, можно сделать вывод, что открытие Пьера де Ферма стало фундаментом для развития современной криптографии и математики в целом. Проведенный вероятностный анализ показал, выявил ряд недостатков метода Ферма, таких как вероятность того, что составное число может быть принято за простое при небольшом количестве итераций и наличие чисел Кармайкла. После усовершенствования теста Ферма Миллером удалось значительно снизить вероятность ошибки теста простоты Ферма и исключить псевдопростые числа Кармайкла. Вероятность ложного результата после такого преобразования не превышает значения (¼) k.

В современной криптографии тест Ферма в “чистом” виде используется крайне редко. Ученые математики неоднократно занимались исследованием малой теоремы Ферма, многим из них, удалось добиться успеха в усовершенствовании данного теста простоты. Одним из ярких примеров является тест Миллера-Рабина, Соловея-Штрассена и детерменированный AKS тест.

Анализ стохастической системы рынка

Любой рынок представляет собой стохастическую систему, события которой возникают случайным образом. Рынок валют, ценных бумаг и фьючерсов в этом смысле не являются исключением. Поэтому их можно анализировать с помощью методов стохастического анализа.

Основные этапы стохастического анализа

В рамках исследования такой стохастической системы как биржа, можно выделить несколько основных этапов:

1. Выделение статистически закономерного движения цены и поведения рынка.
2. Выявление основных рыночных сигналов.
3. Выделение различных альтернативных вариантов.
4. Выбор варианта с наиболее приемлемым уровнем риска и соответствующего начальным задачам трейдера на определенный временной период.

Подробно о каждом этапе стохастического анализа

Первый этап заключается в выявлении статистически повторяющихся отклонений цены от всеобщего хаоса. Здесь можно выделить два вида подобных отклонений:

1. Отклонение рынка от средней величины (смещение).
2. Цикличность или изменение направления отклонений. Цикличность движения цены отлично видна на любых графиках.

Данные виды отклонений изучаются отдельно друг от друга. Сначала находится отклонение цены от средней величины, затем производится отслеживание признаков смены цикла.

Среди смещений выделяют прямые и изогнутые линии, а также углы падения и возрастания.

Прямые линии соответственно представлены линиями поддержки и сопротивления, которые могут располагаться горизонтально (ценовой коридор) и под наклоном (тренд).

Однако существуют и другие прямые линии. Цены от них могут отражаться не только с одной стороны, но и с двух. Стохастический подход подразумевает под собой выявление любых значимых линий. При этом должно учитываться число отражений. Но не стоит забывать и о том, что чем больше время существования линии, тем больше вероятность ее пробития ценой при последующей атаке.

Относительно цикличности можно сказать, что следует рассматривать повторение соотношений между различными периодами роста и падения рынка. Эти повторения всегда подчиняются определенным закономерностям. Одна из них – это следование числам Фибоначчи.

Ко второму этапу вероятностного анализа рынка можно приступать после того, как обнаружено статистическое повторение событий в движении цены. Здесь следует определить однозначные критерии для принятия решения.

Третий и четвертый этапы проводятся с целью выделения различных альтернатив. При этом следует остановиться лишь на одном из вариантов. Это самое сложное, поскольку обычно каждый из них может казаться равноценным.

Для облегчения процесса выбора, необходимо разработать критерии оценки. Критериями могут стать: уровень риска, возможная прибыль, финансовые ресурсы и т.д.

Цель вероятностного прогноза состоит в том, чтобы минимизировать число возможных исходов событий.

Таким образом, следуя данным этапам, можно провести анализ такой стохастической системы как рынок, а также выработать план действий, когда перед трейдером стоит проблема выбора одной из возможных альтернатив.

Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector